Довідкові матеріали ЗНО/НМТ - «Математика»
Головна »
Схеми розв’язування типових завдань з математики
Основні методи розв’язування рівнянь
У таблиці наведено схеми розв’язування деяких типових рівнянь.
| Тип рівняння | Умова, рівносильна даному рівнянню |
|---|---|
| \(\left| f(x) \right| = \left| g(x) \right|\) | \(\left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x), \\ f(x) = -g(x) \end{array} \right.\) |
| \(\left| f(x) \right| = g(x)\) | \(\begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) = -g(x), \\ g(x) \geq 0 \end{cases}\) |
| \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\) | \(\begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) \geq 0 \end{cases}\) |
| \(\sqrt{f(x)} = g(x)\) | \(\begin{cases} f(x) = g^2(x), \\ g(x) \geq 0 \end{cases}\) |
| \(a^{f(x)} = a^{g(x)}, a > 0, a \neq 1\) | \(f(x) = g(x)\) |
| \(\log_a f(x) = \log_a g(x), a > 0, a \neq 1\) | \(\begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) > 0 \end{cases}\) |
Лінійні та квадратичні рівняння
| Тип рівняння | Умова, рівносильна даному рівнянню |
|---|---|
| Лінійне рівняння \(ax + b = 0\) | \(x = -\frac{b}{a}, a \neq 0\) |
| Квадратичне рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\) | Використовуємо дискримінант: \(\Delta = b^2 – 4ac\), корені: \(\begin{cases} x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \\ x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} \end{cases}\), при \(\Delta > 0\) |
| Теорема Вієта | Для рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\): \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, x_1x_2 = \frac{c}{a}\) |
| Теорема Безу | Якщо \(f(x)\) ділиться на \(x – a\), то \(f(a) = 0\) |
| Біквадратне рівняння | Використовується заміна \(t = x^2\), після чого розв’язуємо як квадратичне рівняння |
| Метод заміни змінної | Введення нової змінної для спрощення рівняння, наприклад \(y = x^2\) |
Основні методи розв’язування нерівностей
У таблиці наведено схеми розв’язування деяких типових нерівностей.
| Тип нерівності | Умова, рівносильна даній нерівності |
|---|---|
| \(\left| f(x) \right| < g(x)\) | \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) < g(x), \\ f(x) > – g(x) \end{array} \right.\) |
| \(\left| f(x) \right| > g(x)\) | \(\left[ \begin{array}{l} f(x) > g(x), \\ f(x) < -g(x) \end{array} \right.\) |
| \(\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}\) | \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) > g(x), \\ g(x) \geq 0 \end{array} \right.\) |
| \(\sqrt{f(x)} < g(x)\) | \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) < (g(x))^2,\\ f(x) \geq 0, \\ g(x) > 0 \end{array} \right.\) |
| \(\sqrt{f(x)} > g(x)\) | \(\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} f(x) > (g(x))^2, \\ g(x) \geq 0, \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} g(x) < 0, \\ f(x) \geq 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\) |
| \(a^{f(x)} > a^{g(x)}, a > 1\) | \(f(x) > g(x)\) |
| \(a^{f(x)} > a^{g(x)}, 0 < a < 1\) | \(f(x) < g(x)\) |
| \(\log_a f(x) > \log_a g(x), a > 1\) | \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) > g(x), \\ g(x) > 0 \end{array} \right.\) |
| \(\log_a f(x) > \log_a g(x), 0 < a < 1\) | \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) < g(x), \\ f(x) > 0 \end{array} \right.\) |
